Cauchy problems related to integrable matrix hierarchies

Abstract

Обсуждается разрешимость двух задач Коши для матричных псевдодифференциальных операторов. Первая из них связана с множеством матричных псевдодифференциальных операторов отрицательного порядка, ярким примером которого является множество строго интегральных частей произведений решения $(L,\{U_\alpha\})$ $\mathbf h[\partial]$-иерархии, где $\mathbf h$ - максимальная коммутативная подалгебра в $gl_n(\mathbb{C})$. Показано, что эта задача Коши имеет решение, если используемое для нее окружение удовлетворяет условию полной совместности. Вторая задача Коши немного более общая, она связана с набором матричных псевдодифференциальных операторов порядка меньше или равного нулю. Ключевым примером здесь является совокупность интегральных частей различных произведений решения $\{V_\alpha\}$ строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Эта задача Коши разрешима, если выполняются два свойства: полная совместность и коши-разрешимость в размерности $n$. Показано, что оба условия выполняются в окружении, основанном на алгебре формальных степенных рядов.