Asymptotics for some nonlinear damped wave equation: finite time convergence versus exponential decay results

Abstract

Given a bounded open set \Omega \subset \mathbb{R}^{n} and a continuous convex function \Phi \:\text{:}L^{2}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R} , let us consider the following damped wave equation \tag{S} u_{tt}−\mathrm{\Delta }u + \partial \Phi (u_{t}) \ni 0,\:(t,x) \in (0, + \infty ) \times \Omega , under Dirichlet boundary conditions. The notation ∂Φ refers to the subdifferential of Φ in the sense of convex analysis. The nonlinear term ∂Φ allows to modelize a large variety of friction problems. Among them, the case \Phi = | \cdot |_{L^{1}} corresponds to a Coulomb friction, equal to the opposite of the velocity sign. After we have proved the existence and uniqueness of a solution to (S), our main purpose is to study the asymptotic properties of the dynamical system (S). In two significant situations, we bring to light an interesting phenomenon of dichotomy: either the solution converges in a finite time or the speed of convergence is exponential as t\rightarrow + \infty . We also give conditions which ensure the finite time stabilization of (S) toward some stationary solution. Résumé Etant donné un ouvert borné \Omega \subset \mathbb{R}^{n} et une fonction convexe continue \Phi \:\text{:}L^{2}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R} , considérons l'équation des ondes amorties suivante : \tag{S} u_{tt}−\mathrm{\Delta }u + \partial \Phi (u_{t}) \ni 0,\:(t,x) \in (0, + \infty ) \times \Omega , avec conditions de Dirichlet au bord. La notation ∂Φ désigne le sous-différentiel de Φ au sens de l'analyse convexe. Le terme non-linéaire ∂Φ permet de modéliser une grande variété de problèmes avec frottement. Le cas \Phi = | \cdot |_{L^{1}} correspond au frottement de Coulomb, égal à l'opposé du signe de la vitesse. Après avoir établi l'existence et l'unicité d'une solution de (S), notre principal objectif est d'étudier les propriétés asymptotiques du système dynamique (S). Dans deux situations significatives, on met en évidence un phénomène intéressant de dichotomie : la solution converge en temps fini, ou bien la vitesse de convergence est exponentielle lorsque t\rightarrow + \infty . On donne également des conditions qui garantissent la stabilisation en temps fini de (S) vers une solution stationnaire.